Question

19．已知f（x）=lnx+$\frac{1}{8}$x²．
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)P為曲線f（x）上的點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的最小值及傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{1}{8}$x²，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$x，
x=1時(shí)，f′（1）=$\frac{5}{4}$，f（1）=$\frac{1}{8}$，
∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為y-$\frac{1}{8}$=$\frac{5}{4}$（x-1），即10x-8y-9=0；
（2）x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$x≥1，
∴曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的最小值為1，傾斜角α的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．