Question

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+C（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在同一周期中最高點坐標為（2，2），最低點坐標為（8，-4），求
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，對稱中心坐標和對稱軸方程．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由函數(shù)的最值求出A和C，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據正弦函數(shù)的圖象的單調性和對稱性求出函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，對稱中心坐標和對稱軸方程．

解答： 解：（1）由同一周期中最高點坐標為（2，2），最低點坐標為（8，-4），
可得C=

2-4

2

=-1，A=2-（-1）=3，

1

2

•

2π

ω

=8-2，求得ω=

π

6

．
再把最高點坐標（2，2），代入函數(shù)的解析式可得 2=3sin（

π

3

+φ）-1，
即sin（

π

2

+φ）=1，結合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

，
故函數(shù)的解析式為y=3sin（

π

6

x+

π

6

）-1．
（2）令2kπ-

π

2

≤

π

6

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得12k-4≤x≤12k+2，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[12k-4，12k+2]，k∈z．
令

π

6

x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x=6k-1，故函數(shù)圖象的對稱中心為（6k-1，-1），k∈z．
令

π

6

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=6k+2，故函數(shù)圖象的對稱軸為 x=6k+2，k∈z．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A和C，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象的單調性和對稱性，屬于基礎題．