Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)（

an

，a_n+1）（n∈N*）在函數(shù)y=2x²的圖象上．
（1）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，c_n=n•log₂b_n，求{

1

cn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知a_n+1=2a_n，所以a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由題設(shè)條件知S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²++（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³++（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，再用錯(cuò)位相減法求解．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=2x²的圖象上，
所以a_n+1=2a_n，
根據(jù)等比數(shù)列的定義：{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以a_n=2^n-1．
∵b_n+1=b_n+a_n，
∴b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+2⁰+2¹+…+2^n-2=1+

1-2n-1

1-2

=2^n-1．
（Ⅱ），c_n=n•log₂b_n=n（n-1）．
∴

1

cn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用，考查利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．