Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E為PC的中點，AD=CD=1，DB=2$\sqrt{2}$，PD=2．
（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求三棱錐B-ACE的體積．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD得PD⊥AC，由∠CDB=∠ACD=45°得AC⊥BD．于是AC⊥平面PBD，從而平面PAC⊥平面PBD．
（2）由E為PC的中點可得E到平面ABCD的距離為$\frac{1}{2}$PD，把平面ABC當(dāng)做底面，代入體積公式計算．

解答 證明：（1）設(shè)AC，BD交于點O，∵AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，
∵DB平分∠ADC，∴∠CDB=45°，∴∠DOC=90°，即AC⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴OB=BD-OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∵E是PC的中點，∴E到平面ABCD的距離好h=$\frac{1}{2}$PD=1．
∴V_棱錐B-ACE=V_棱錐E-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•h=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AC•OB•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，選擇恰當(dāng)?shù)牡酌媸墙忸}關(guān)鍵．