Question

9．已知t＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=x³+$\frac{3（t-1）}{2}$x²-3tx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）≤xe^x-m（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立時(shí)，m的最大值為0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論判斷單調(diào)性；
（Ⅱ）由題意轉(zhuǎn)化條件為m≤x[e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t]對(duì)任意的x≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出新函數(shù)的最小值，然后求解t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³+$\frac{3（t-1）}{2}$x²-3tx．
得f′（x）=3x²+3（t-1）x-3t=3（x-1）（x+t），t＜0．
令f′（x）=0，得x=1，-t；
①當(dāng)t＞-1時(shí)，可以判定f（x）在區(qū)間（-∞，-t），（1，+∞）內(nèi)遞增，在區(qū)間（-t，1）內(nèi)遞減，
②當(dāng)t=-1時(shí)，可以判定f（x）在R上遞增；
③當(dāng)t＜-1時(shí)，可以判定f（x）在區(qū)間（-∞，1），（-t，+∞）內(nèi)遞增，在區(qū)間（1，-t）內(nèi)遞減；
（Ⅱ）若f（x）≤xe^x-m（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意的x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤x[e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t]對(duì)任意的x≥0恒成立，
令g（x）=e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t，由于m的最大值為0，
所以g（x）=e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t≥0恒成立
由g（0）=1+3t≥0可得t≥-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)-$\frac{1}{3}$≤t＜0時(shí)，g′（x）=e^x-2x-$\frac{3（t-1）}{2}$，
再設(shè)h（x）=g′（x）=e^x-2x-$\frac{3（t-1）}{2}$，得h′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．h（x）在區(qū)間（0，ln2）內(nèi)遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）內(nèi)遞增，h（x）的最小值為h（ln2）=2-$\frac{3（t-1）}{2}$-2ln2，可以判定h（ln2）＞0，
即g′（x）＞0，所以g（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)遞增，
則有g(shù)（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的最小值g（0）=1+3t≥0，得t≥-$\frac{1}{3}$．
所以，t的取值范圍是0＞t≥-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．