如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD=AB，PD⊥底面ABCD，M，N，Q分別在PB，AC，PC上，且
PM
MB
=
AN
NC
=
PQ
QC

（1）求證：平面MNQ∥平面PAD．
（2）求直線PB與平面面MNQ所成角的正弦值．
分析：（1）要證平面MNQ∥平面PAD，可由
PM
MB
=
PQ
QC
⇒MQ∥BC⇒MQ∥平面PAD．同理NQ∥平面PAD證出．
（2）由（1），直線PB與平面面MNQ所成角等于直線PB與平面PAD所成角．證出BA⊥平面PAD，∠BPA為直線PB與平面MNQ所成角，
解答：（1）證明：
PM
MB
=
PQ
QC
⇒MQ∥BC，∵BC∥AD，∴MQ∥AD，
MQ?平面PAD，AD?平面PAD，∴MQ∥平面PAD．
同理
AN
NC
=
PQ
QC
⇒NQ∥AP，NQ?平面PAD，AP?平面PAD，∴NQ∥平面PAD．
MQ，NQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD．
（2）解：由（1），直線PB與平面面MNQ所成角等于直線PB與平面PAD所成角．
PD⊥平面ABCD
AB?平面ABCD
 
⇒PD⊥AB
AD⊥AB
⇒AB⊥平面PAD
⇒∠BPA為直線PB與平面PAD所成角，
設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，則PD=AB=1，直角三角形△PDA斜邊PA=
2
，直角三角形△BPA斜邊PB=
3
，
sin∠BPA=
AB
PB
=
1
3
=
3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，線面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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