Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，已知

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

(n∈N*)．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）設(shè)bn=(

1

2

)an，若對(duì)一切n∈N^*，均有

n

k=1

bk∈(

1

m

，m2-6m+

16

3

)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）n=1時(shí)，S₁=2，n=2時(shí)，S₂=6，由

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

，知

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn-1

=

n-1

n

，由此能求出S_n．
（2）由S_n=n（n+1），知a_n=S_n-S_n-1=2n，a₁=2，a_n=2n，n∈N⁺，所以bn=(

1

4

)n．由

bn+1

bn

=

1

4

，知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由  b₁+b₂+…+b_n=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)和

1

3

(1-

1

4n

)隨n的增大而增大，知

1

4

≤ b₁+b₂+…+b_n＜

1

3

，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，n=1時(shí)，S₁=2，n=2時(shí)，S₂=6，
∵

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

，①
n≥2時(shí)，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn-1

=

n-1

n

，
∴S_n=n（n+1）（n∈N⁺），
（2）由（1）知S_n=n（n+1），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∵a₁=2，∴a_n=2n，n∈N⁺，
∴bn=(

1

4

)n．
∵

bn+1

bn

=

1

4

，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
則  b₁+b₂+…+b_n=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)．
∵

1

3

(1-

1

4n

)隨n的增大而增大，
∴

1

4

≤ b₁+b₂+…+b_n＜

1

3

，
依條件，得

1 m ＜ 1 4 m2-6m+ 16 3 ≥ 1 3

，
即

m＜0，或m＞4 m≤1，或m≥5

，∴m＜0或m≥5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．