【題目】已知圓.
(1)若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2,求直線的方程;
(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線,切點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足,求點(diǎn)的軌跡方程及的最小值.
【答案】(1)x=-2或3x-4y+6=0(2)2x-4y+3=0,
【解析】
(1)⊙C:x2+y2+2x﹣4y+3=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心C,半徑r.分類討論,利用C到l的距離為1,即可求直線l的方程;
(2)設(shè)P(x,y).由切線的性質(zhì)可得:CM⊥PM,利用|PM|=|PO|,可得3x+4y﹣12=0,求|PM|的最小值,即求|PO|的最小值,即求原點(diǎn)O到直線2x﹣4y+3=0的距離.
解:(1) (1)x2+y2+2x-4y+3=0可化為(x+1)2+(y-2)2=2,
當(dāng)直線l的斜率不存在時,其方程為x=-2,
易求直線l與圓C的交點(diǎn)為A(-2,1),B(-2,3),|AB|=2,符合題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
則圓心C到直線l的距離,
解得,
所以直線l的方程為3x-4y+6=0
綜上,直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0
(2) 如圖,PM為圓C的切線,連接MC,PC,則CM⊥PM,
所以△PMC為直角三角形,
所以|PM|2=|PC|2-|MC|2
設(shè)P(x,y),由(1)知C(-1,2),|MC|=,
因為|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+3=0
求|PM|的最小值,即求|PO|的最小值,也即求原點(diǎn)O到直線2x-4y+3=0的距離,
代入點(diǎn)到直線的距離公式可求得|PM|的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的周期為,圖象的一個對稱中心為,若先把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),試判斷在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的速度為千克/小時,每小時可獲得的利潤是元,其中.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品每小時獲得的利潤為60元,求每小時生產(chǎn)多少千克?
(2)要使生產(chǎn)400千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:此公司每小時應(yīng)生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展,人們的生活水平也同步上升,許許多多的家庭對于資金的管理都有不同的方式.最新調(diào)查表明,人們對于投資理財?shù)呐d趣逐步提高.某投資理財公司做了大量的數(shù)據(jù)調(diào)查,調(diào)查顯示兩種產(chǎn)品投資收益如下:
①投資A產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比;
②投資B產(chǎn)品的收益與投資額成正比.
公司提供了投資1萬元時兩種產(chǎn)品的收益,分別是0.2萬元和0.4萬元.
(1)分別求出A產(chǎn)品的收益、B產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)假如現(xiàn)在你有10萬元的資金全部用于投資理財,你該如何分配資金,才能讓你的收益最大?最大收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方體的直觀圖如圖所示:
(1)判斷平面與平面的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)證明:直線平面.
(3)若,求點(diǎn)到面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人獨(dú)立地對某一技術(shù)難題進(jìn)行攻關(guān)。甲能攻克的概率為,乙能攻克的概率為,丙能攻克的概率為.
(1)求這一技術(shù)難題被攻克的概率;
(2)若該技術(shù)難題末被攻克,上級不做任何獎勵;若該技術(shù)難題被攻克,上級會獎勵萬元。獎勵規(guī)則如下:若只有1人攻克,則此人獲得全部獎金萬元;若只有2人攻克,則獎金獎給此二人,每人各得萬元;若三人均攻克,則獎金獎給此三人,每人各得萬元。設(shè)甲得到的獎金數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。(本題滿分12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn),參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(I)求出的值;
(II)求出這200人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(III)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求第2組恰好抽到2人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(I)證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;
(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
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