Question

直線l過(guò)點(diǎn)P（-2，1）且斜率為k（k＞1），將直線l繞P點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得直線m，若直線l和m分別與y軸交于Q，R兩點(diǎn)．
（1）用k表示直線m的斜率；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△PQR的面積最��？并求出面積最小時(shí)直線l的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線m的傾斜角為α+45°，
，
∴直線l的方程為y-1=k（x+2），
（2）直線m的方程為
令x=0，得，
∴=
∵k＞1，
∴=≥
由得舍去），
∴當(dāng)時(shí)，
△PQR的面積最小，最小值為，
此時(shí)直線l的方程是．
分析：（1）用點(diǎn)斜式求出m和l的方程，利用直線l繞P點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得直線m求出直線m的傾斜角為α+45°；進(jìn)而得到直線m的斜率；
（2）求出R，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算△PQR 的面積，變形后應(yīng)用基本不等式求出它的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一條直線到另一直線的角的定義，直線的點(diǎn)斜式方程，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及基本不等式的應(yīng)用．把三角形的面積表達(dá)式變形后應(yīng)用基本不等式是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．