Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）討論極值點的個數(shù)；

（2）設(shè)，函數(shù)，若，（）滿足且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，再對a分類討論求函數(shù)極值點的個數(shù).(2)先對函數(shù)求導，假設(shè)結(jié)論不成立，則有，

由①得，由③得，所以④，令，不妨設(shè)，（），再利用導數(shù)證明，

所以④式不成立，與假設(shè)矛盾．所以原命題成立.

（1）函數(shù)的定義域為，．

令．

①當時，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，所以，在上有唯一零點，從而函數(shù)在上有唯一極值點；

③當時，若，即時，則在上恒成立，

從而在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

若，即，由于，

則在上有兩個零點，從而函數(shù)在上有兩個極值點．

綜上所述：

當時，函數(shù)在上有唯一極值點；

當時，函數(shù)在上無極值點；

當時，函數(shù)在上有兩個極值點．

（2）， .

假設(shè)結(jié)論不成立，則有

由①，得，∴，

由③，得，∴，即，即．④

令，不妨設(shè)，（），則，

∴在上增函數(shù)，，

∴④式不成立，與假設(shè)矛盾．

∴．