Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0．當x＞0時，有f（x）＞xf′（x）恒成立，則不等式x²f（x）＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：首先根據(jù)商函數(shù)求導法則，把 有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0化為[

f(x)

x

]′＜0恒成立，；然后利用導函數(shù)的正負性，可判斷函數(shù)y=

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負性．則x²f（x）＜0?f（x）＜0的解集即可求得．

解答： 解：∵當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵f（2）=0，
∴在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＜0的解集，即不等式f（x）＜0的解集，
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)求導法則及函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，同時考查了奇偶函數(shù)的圖象特征．