Question

設(shè)θ為第三象限角，試判斷

sin θ 2

cos θ 2

的符號．

Answer 1

分析：根據(jù)題意寫出角θ的集合，再求

θ

2

的集合，根據(jù)k取偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，分別判斷sin

θ

2

和cos

θ

2

的符號，進(jìn)而得到式子

sin θ 2

cos θ 2

的符號．

解答：解∵θ為第三象限角，∴2kπ+π＜θ＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
kπ+

π

2

＜

θ

2

＜kπ+

3π

4

（k∈Z）．
當(dāng)k=2n（n∈Z）時，2nπ+

π

2

＜

θ

2

＜2nπ+

3π

4

，此時

θ

2

在第二象限，
∴sin

θ

2

＞0，cos

θ

2

＜0，∴

sin θ 2

cos θ 2

＜0．
當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時，即（2n+1）π+

π

2

＜

θ

2

＜（2n+1）π+

3π

4

 （n∈Z），
即2nπ+

3π

2

＜

θ

2

＜2nπ+

7π

4

 （n∈Z），此時

θ

2

在第四象限．
∴sin

θ

2

＜0，cos

θ

2

＞0，因此

sin θ 2

cos θ 2

＜0，
綜上可知，

sin θ 2

cos θ 2

＜0．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)的符號應(yīng)用和象限角的表示，即通過分類討論判斷出角

θ

2

的象限，再根據(jù)“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來判斷三角函數(shù)值的符號．