Question

（2012•寶雞模擬）平面內(nèi)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A₁（-a，0），A₂（a，0）（其中a＞0）連線的斜率之積為非零常數(shù)m，已知點(diǎn)P的軌跡是橢圓C，離心率是

2

2

．
（1）求m的值；
（2）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，若過點(diǎn)（2，3）且斜率為-1的直線被橢圓C所截線段的長(zhǎng)度為

20 3

3

，求此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可分別表示出動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)的連線的斜率，根據(jù)其之積為常數(shù)，求得x和y的關(guān)系式，對(duì)k的范圍進(jìn)行分類討論，看k的范圍根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可推斷出離心率，從而求得m的值．
（2）設(shè)出所求直線方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得a值，從而解決問題．

解答：解：（1）依題意可知

y

x+a

•

y

x-a

=m，整理得y²-mx²=-ma²，
當(dāng)m＜0時(shí)，方程的軌跡為橢圓：

x 2

a 2

+

y 2

-ma 2

=1，
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，∴c=

a 2+ma 2

=

(m+1)a 2

∴e=

c

a

=

m+1 |a|

|a|

=

m+1

=

2

2

，∴m=-

1

2

；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，c=

-a 2-ma 2

=

(-m-1)a 2

，
∴e=

c

a

=

-m-1 |a|

| -m a|

=

-m-1

-m

=

2

2

，
∴m=-2．
（2）過點(diǎn)（2，3）且斜率為-1的直線方程為y-3=-（x-2），
聯(lián)立得：

x2+2y2=a2 x+y-5=0

，從而有：3x²-20x+50-a²=0，
∵△=20²-4×3×（50-a²）=4（3a²-50）≥0，
設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

20

3

，
x₁x₂=

50-a2

3

，
所截線段的長(zhǎng)度為d=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

2( 20 3 )2-8× 50-a2 3

=

20 3

3

，
解得a=

10 6

3

，
此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

10 3

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和應(yīng)用．屬于中檔題．