Question

10．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ-cosαsinβ=1，則sin（2α-β）+sin（α-2β）的取值范圍為（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，1]
• B． [-1，$\sqrt{2}$]
• C． [-1，1]
• D． [1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 先利用正弦的兩角和公式化簡已知等式求得α=$\frac{π}{2}$+β，利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡，根據(jù)β的范圍求得cos（β+$\frac{π}{4}$）的范圍，即可得解．

解答 解：∵sinαcosβ-sinβcosα=sin（α-β）=1，α、β∈[0，π]，
∴α-β=$\frac{π}{2}$，可得：α=$\frac{π}{2}$+β∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴$\frac{π}{2}$+β∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴β+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
又∵β+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴β+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴cos（β+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴sin（2α-β）+sin（α-2β）=sin（β+π）+sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ-sinβ=$\sqrt{2}$cos（β+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
故選：C．

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，求出α和β互余的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．