Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），過點E（，0）的直線與橢圓相交于點A，B兩點，且F₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|
（Ⅰ）求橢圓的離心率
（Ⅱ）直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得，從而a²=3c²，故可求離心率；（Ⅱ）先設(shè)直線AB的方程為即y=k（x-3c），再與橢圓的方程2x²+3y²=6c²聯(lián)立，又由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，從而可求直線的斜率．
解答：解：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得，從而a²=3c²，故離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b²=a²-c²=2c²，所以橢圓的方程可以寫為2x²+3y²=6c²
設(shè)直線AB的方程為即y=k（x-3c）
由已知設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則它們的坐標(biāo)滿足方程組 
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0
依題意，△＞0，而，
由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以x₁+3c=2x₂
聯(lián)立三式，解得，，，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得
點評：本題主要考查橢圓的離心率及直線的斜率，關(guān)鍵是找出幾何量的關(guān)系，涉及直線與曲線的位置關(guān)系，通常是聯(lián)立方程，借助于根與系數(shù)的關(guān)系求解，應(yīng)注意判別式的驗證．