Question

已知數(shù)列{a_n}的前項和為S_n 且

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

 （n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

an

2n+1

}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

（n∈N^*），可得S_n=n（n+1），利用遞推式即可得出a_n．
（II）

an

2n+1

=

2n

2n+1

=

n

2n

．利用“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（I）∵

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

（n∈N^*），
∴S_n=n（n+1），
當n=1時，a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
當n=1時，上式也滿足．
∴a_n=2n．
（II）

an

2n+1

=

2n

2n+1

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．