Question

（本小題滿(mǎn)分16分）二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為，且圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)為8

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）令

①若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求函數(shù)在的最大值。

Answer 1

（1）;（2）①②函數(shù)在的最大值為

【解析】

試題分析：第一步由于函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為，可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)為8，列方程求出，得到函數(shù)的解析式即可；第二步先寫(xiě)出的表達(dá)式，①由函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，只需的圖象（拋物線）的對(duì)稱(chēng)軸在的左側(cè)或右側(cè)；②由于圖象拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，針對(duì)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的三種位置關(guān)系進(jìn)行討論，求出函數(shù)在的最大值，并用分段函數(shù)表示之 .

試題解析：（1）由條件設(shè)二次函數(shù)

令，得

∵圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8，

有，又

∴函數(shù)的解析式為.

（2）①∵

∴

而函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)

又對(duì)稱(chēng)軸，

有

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

②，

對(duì)稱(chēng)軸，

當(dāng)a＜0時(shí)，

當(dāng)0≤a≤2時(shí)，

當(dāng)a＞2時(shí)，

綜上所述：函數(shù)在的最大值為

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；2.二次函數(shù)的單調(diào)性；3.二次函數(shù)的最值；4.分裂討論思想