Question

17．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與圓O：x²+y²=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B．當(dāng)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且滿足$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由題意可知：直線l的斜率不為零，設(shè)直線l方程：x-my-n=0與圓O：x²+y²=1相切，可得$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，可得：|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|，S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|，λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²，由$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$，令t=m²+1，則λ=$\frac{t}{t+3}$，可得t∈[3，6]，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1．
（2）由題意可知：直線l的斜率不為零，
設(shè)直線l方程：x-my-n=0與圓O：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，解得n²=m²+1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，
消去x整理得：（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2mn}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$．
又∵|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}d•|{AB}|=\frac{1}{2}•\frac{|n|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}•\sqrt{1+{m^2}}•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|n|•|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{3}•\sqrt{\frac{n^2}{{{{（{{m^2}+4}）}^2}}}}=2\sqrt{3}•\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（{{m^2}+4}）}^2}}}}$，
λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=$\frac{5{n}^{2}-4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+4}$，
∵$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$，令t=m²+1，
則λ=$\frac{t}{t+3}$，可得t∈[3，6]，
∴S_△AOB=2$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{t}{（t+3）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{t+\frac{9}{t}+6}}$，
∵$t+\frac{9}{t}$∈$[6，\frac{15}{2}]$，∴（$t+\frac{9}{t}$+6）∈$[12，\frac{27}{2}]$，
∴$\sqrt{t+\frac{9}{t}+6}$∈$[\sqrt{12}，\sqrt{\frac{27}{2}}]$，
∴S_△AOB∈$[\frac{2\sqrt{2}}{3}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．