Question

15．已知復(fù)數(shù)z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$
（1）若z•（m+2i）為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若復(fù)數(shù)z₁與z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，求z₁的實(shí)部；
（3）若復(fù)數(shù)z₂=a+bi（a，b∈R），且z²+az+b=1-i，求|z₂|

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=1+i．
（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與純虛數(shù)的定義即可得出．
（2）復(fù)數(shù)z₁與z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，可得其實(shí)部互為相反數(shù)，而虛部相等．
（3）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：復(fù)數(shù)z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=$\frac{-2i+3+3i}{2-i}$=$\frac{3+i}{2-i}$=$\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{5+5i}{5}$=1+i．
（1）z•（m+2i）=（1+i）（m+2i）=m-2+（2+m）i為純虛數(shù)，∴m-2=0，2+m≠0，
解得m=2．
（2）∵復(fù)數(shù)z₁與z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，
∴z₁=-1+i，
∴z₁的實(shí)部為-1．
（3）復(fù)數(shù)z₂=a+bi（a，b∈R），且z²+az+b=1-i，
∴2i+a（1+i）+b=1-i，
即a+b+（2+a）i=1-i，
∴a+b=1，2+a=-1．
解得a=-3，b=4．
∴|z₂|=$\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}}$=5．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式、純虛數(shù)的定義、幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．