如圖:四棱錐中,,,.∥,..
(Ⅰ)證明: 平面;
(Ⅱ)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與平面成角正弦值等于,若存在,指出點(diǎn)位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ)證明:取線段中點(diǎn),連結(jié).
根據(jù)邊角關(guān)系及 得到,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f7/7/1oc7q4.png" style="vertical-align:middle;" />,且,可得平面。
(Ⅱ)點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
解析試題分析:(Ⅰ)證明:取線段中點(diǎn),連結(jié).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d8/2/9ynnf1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/1/zi6l31.png" style="vertical-align:middle;" />∥,所以, 2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/0/1wpys2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,而
所以. 4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ea/9/pd0gj2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以 即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f7/7/1oc7q4.png" style="vertical-align:middle;" />,且
所以平面 6分
(Ⅱ)解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),以
所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:
則四點(diǎn)坐標(biāo)分別為:
;;; 8分
設(shè);平面的法向量.
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以假設(shè),所以
即,所以. 9分
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/78/5/1od0v4.png" style="vertical-align:middle;" />的法向量.
所以,所以
所以 10分
因?yàn)橹本與平面成角正弦值等于,所以.
所以 即.所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn). 12分
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系,空間向量的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng):中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。(1)注意轉(zhuǎn)化成了平面幾何問(wèn)題;(2)利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)面PAD是正三角形,且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,
(I) 求證:平面PAD⊥平面PCD
(II)求二面角A-PC-D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示的幾何體中,四邊形為矩形,為直角梯形,且 = = 90°,平面平面,,
(1)若為的中點(diǎn),求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知三棱錐的底面是直角三角形,且,平面,,是線段的中點(diǎn),如圖所示.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2, E,F,G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn).
(1)求三棱錐E-CGF的體積;
(2)求證:平面PAB//平面EFG;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F(xiàn)分別在線段BC和AD上,EF//AB,將矩形ABEF沿EF折起.記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)求證:NC∥平面MFD;
(2)若EC=3,求證:ND⊥FC;
(3)求四面體NFEC體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
直棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求證:平面ACB1⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP與平面ACB1平行?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在直角梯形PBCD中,,A為PD的中點(diǎn),如下左圖。將沿AB折到的位置,使,點(diǎn)E在SD上,且,如下圖。
(1)求證:平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
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