Question

9．若定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，則稱該函數(shù)為滿足約束條件K的一個“K函數(shù)”．有下列函數(shù)：①f（x）=x+1；②f（x）=-x³；③f（x）=$\frac{1}{x}$；④f（x）=x|x|．其中為“K函數(shù)”的是．

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 由K函數(shù)的定義可知K函數(shù)滿足三個條件：1，定義域為R，2，f（x）是增函數(shù)，3，f（x）是奇函數(shù)．

解答 解：∵?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，
∴f（x）為定義域為R的增函數(shù)，且f（x）為奇函數(shù)．
∵f（x）=x+1不是奇函數(shù)，∴f（x）=x+1不是“K函數(shù)“．
∵f（x）=-x³在R上是減函數(shù)，∴f（x）=-x³不是“K函數(shù)“．
∵f（x）=$\frac{1}{x}$的定義域為{x|x≠0}，∴f（x）=$\frac{1}{x}$不是“K函數(shù)“．
∵f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x＜0}\\{{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，∴f（x）=x|x|是“K函數(shù)“．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)定義域，單調(diào)性，奇偶性的判斷，屬于基礎題．