已知函數(shù)f(x)=
ax2+x,x≥0
x-ax2,x<0
,設(shè)關(guān)于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集為M.若[-
1
2
,
1
2
]⊆M,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(
1-
5
2
,0)∪(0,
1+
3
2
B、(
1-
3
2
,0)
C、(
1-
5
2
,0)
D、(-∞,
1-
5
2
考點(diǎn):分段函數(shù)的應(yīng)用
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:首先判斷函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性,可將函數(shù)化為f(x)=x+ax|x|,討論a≥0,由圖象平移可得,不等式無解,從而a<0,再由單調(diào)性可得,f(a-
1
2
)<f(-
1
2
)且f(a+
1
2
)<f(
1
2
),解出不等式,求其交集即可.
解答: 解:函數(shù)f(x)=
ax2+x,x≥0
x-ax2,x<0
,則f(x)=x+ax|x|,
而f(-x)=-x-ax|-x|=-f(x),
則f(x)為奇函數(shù),且為增函數(shù),
若a≥0,將圖象向左平移a個(gè)單位,
得到f(x+a)的圖象,恒在y=f(x)的圖象上方,
即f(x+a)<f(x)不成立;故a<0.
由于[-
1
2
1
2
]⊆M,f(x+a)<f(x),則f(a-
1
2
)<f(-
1
2
)且f(a+
1
2

<f(
1
2
),化簡(jiǎn)得,1+(a-
1
2
)(
1
2
-a)>-
1
4
且1+(a+
1
2
)|a+
1
2
|>
1
4
,(a<0)
由于x|x|>-
3
4
得到x>-
3
2
,故有
1-
5
2
<a<0
-1-
3
2
<a<0,
所以a的取值范圍是(
1-
5
2
,0).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用,以及圖象平移與不等式的關(guān)系,考查集合的包含關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下表是某廠1到4月份用水量情況(單位:百噸)的一組數(shù)據(jù):
月份x1234
用水量ym34.5432.5
用水量y與月份x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,其線性回歸方程為
y
=-0.7x+a,則a的值為(  )
A、5.25B、5
C、2.5D、3.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2+1,x≤1
1-log2x,x>1
,則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是( 。
A、[-1,2]
B、[0,2]
C、[1,+∞)
D、[-1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x(x>1)
-1(x≤1)
,則f(lg2+lg5)=( 。
A、10B、1C、0D、-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

三角形ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=1,以邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( 。
A、
π
3
B、π
C、2π
D、3π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則
AB
AC
=( 。
A、1
B、
2
2
C、
2
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=(2+
x
)(3-
x
)的最大值是( 。
A、
25
4
B、
5
4
C、
5
2
D、6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
b
,
a
b
=-40,|
a
|=10,|
b
|=8,則向量
a
b
的夾角為( 。
A、60°B、-60°
C、120°D、-120°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+4x+b(a<0,a,b∈R),設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=0的兩實(shí)根為x1,x2,方程
f(x)=x的兩實(shí)根為α,β.
(Ⅰ)若|α-β|=1,求a與b的關(guān)系式;
(Ⅱ)若a,b均為負(fù)整數(shù),且|α-β|=1,求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若α<1<β<2,求證:(x1+1)(x2+1)<7.

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