Question

設(shè) ．

（1）若是函數(shù)的極大值點，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1) ; (2) .

【解析】

試題分析：(1)對函數(shù)求導(dǎo) ，

求出零點，分析單調(diào)性，找出極大值點與1的關(guān)系，進(jìn)行計算；

（2）原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時, ，利用第一問求出最值，解不等式.

試題解析：(1)

當(dāng)時，f(x)在（0，1）遞減，在（1，+）遞增，故f(x)在x=1處取到極小值，不合舍去。

當(dāng)時，f(x)在（0，a-1）遞增，在（a-1，1）遞減，在（1，+）遞增，故f(x)在x=1處取到極小值，不合舍去。

當(dāng)時，f(x)在（0，1）和（1，+）均遞增，故f(x)在x=1處沒有極值，不合舍去。

當(dāng)時，f(x)在（0，1）遞增，在（1，a-1）遞減，在（a-1， +）遞增，故f(x)在x=1處取到極大值，符合題意。

綜上所述，當(dāng)，即時，是函數(shù)的極大值點． 6分

（2）在上至少存在一點，使成立，等價于

當(dāng)時, ．由（1）知，①當(dāng)，即時，

函數(shù)在上遞減，在上遞增，．

由，解得．由，解得， ； ②當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，．

綜上所述，當(dāng)時，在上至少存在一點，使成立． 13分

考點：導(dǎo)數(shù)計算，轉(zhuǎn)化與化歸思想.