Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)P（2，$\sqrt{3}$）且傾斜角為α，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)；
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若$|AB|=\sqrt{13}$，求直線l的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，由已知求出直線的斜率，由此能求出直線l的傾斜角α的值．

解答 解：（1）∵$ρ=4cos（θ-\frac{π}{3}）$，∴$ρ=4（cosθcos\frac{π}{3}+sinθsin\frac{π}{3}）=2（cosθ+\sqrt{3}sinθ）$…（3分）
∴${ρ^2}=2（ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ）$，∴${x^2}+{y^2}=2x+2\sqrt{3}y$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．…（5分）
（2）當(dāng)α=90⁰時(shí)，直線l：x=2，∴$|AB|=2\sqrt{3}≠\sqrt{13}$，∴α=90⁰舍  …（6分）
當(dāng)α≠90⁰時(shí)，設(shè)tanα=k，則$l：y-\sqrt{3}=k（x-2），即kx-y-2k+\sqrt{3}=0$，
∴圓心$C（1，\sqrt{3}）$到直線$kx-y-2k+\sqrt{3}=0$的距離$d=\frac{{|k-\sqrt{3}-2k+\sqrt{3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$
由${d^2}+{（{\frac{|AB|}{2}}）^2}=4得：\frac{k^2}{{{k^2}+1}}+\frac{13}{4}=4，解得：k=±\sqrt{3}$，
∴$tanα=±\sqrt{3}$，∵α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)的求法，考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．