Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）設(shè)D是線段BB₁的中點，求三棱錐D-ABC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明A₁C⊥面ABC₁，即可證明：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）證明AC⊥面ABB₁A₁，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐D-ABC₁的體積．

解答 （1）證明：在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，有A₁A⊥面ABC，而AB?面ABC，
∴A₁A⊥AB，
∵A₁A=AC，∴A₁C⊥AC₁，
又BC₁⊥A₁C，BC₁?面ABC₁，AC₁?面ABC₁，BC₁∩AC₁=C₁
∴A₁C⊥面ABC₁，
而A₁C?面A₁ACC₁，則面ABC₁⊥面A₁ACC₁ …（6分）
（2）解：由（1）知A₁A⊥AB，A₁C⊥面ABC₁，A₁C⊥AB，故AB⊥面A₁ACC₁，
∴AB⊥AC，
則有AC⊥面ABB₁A₁，
∵D是線段BB₁的中點，
∴${V_{D-AB{C_1}}}={V_{{C_1}-ABD}}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的判定，考查三棱錐D-ABC₁的體積，考查學生分析解決問題的能力，正確運用定理是關(guān)鍵．