Question

20．在如圖所示的五面體中，面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC=$\frac{π}{2}$，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A-BC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，以O(shè)為原點，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BE⊥平面ACF．
（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A-BC-F的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AD中點O，以O(shè)為原點，OA為x軸，
過O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B（1，1，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），
C（-1，2，0），F(xiàn)（0，4，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（-1，4，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AF}$=1-4+3=0，$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AC}$=2-2=0，
∴BE⊥AF，BE⊥AC，
又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{BC}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，3，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-x+3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-$\frac{5}{\sqrt{3}}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角A-BC-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1+4+\frac{25}{3}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴二面角A-BC-F的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．