Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，函數(shù)解析式為f（x）=

1

4x

-

b

2x

（b∈R）
（Ⅰ）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用奇函數(shù)f（0）=0，即可求出b的值，利用函數(shù)的奇偶性直接并求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）利用換元法化簡函數(shù)為求f（x）為二次函數(shù)，然后求解在[0，1]上的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（x）在x=0處有意義，
∴f（0）=0，即f（0）═1-b=0．b=1…（3分）
設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]．
∴f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．
所以，f（x）在[0，1][上的解析式為f（x）=2^x-4^x…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴設(shè)t=2^x（t＞0），則f（t）=t-t²．
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
當(dāng)t=1時(shí)，取最大值，最大值為1-1=0．
當(dāng)t=0時(shí)，取最小值為-2．
所以，函數(shù)在[0，1]上的最大與最小值分別為0，-2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查換元法的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的解析式的求法二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值的求法，考查計(jì)算能力．