在△Rt△ABC中，|AB|=2，∠BAC=60°，∠B=90°，G是△ABC的重心，求
GB
•
GC

考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：如圖所示，由題意可得|AC|=4，設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
a
•
b
=4，根據(jù)
GB
•
GC
=
2
3
（
a
-
1
2
b
）•
2
3
（
b
-
1
2
a
）=
4
9
（
a
•
b
-
a
2
2
-
b
2
2
+
a
2
4
），計算可得結(jié)果．
解答： 解：如圖所示，由，|AB|=2，∠BAC=60°，∠B=90°，可得|AC|=4．
設(shè)E、F分別為AC、AB的中點，設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
a
•
b
=2×4×cos60°=4．
∵
GB
=
2
3
EB
=
2
3
（
a
-
1
2
b
），
GC
=
2
3
FC
=
2
3
（
b
-
1
2
a
），
∴
GB
•
GC
=
2
3
（
a
-
1
2
b
）•
2
3
（
b
-
1
2
a
）=
4
9
（
a
•
b
-
a
2
2
-
b
2
2
+
a
2
4
）=
4
9
（4-2-8+1）=-
20
9
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，熟練掌握向量的運算法則和重心定理及數(shù)量積運算、模的計算公式和三角函數(shù)的平方關(guān)系及其兩角和差的余弦公式是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

閱讀：已知a，b∈（0，+∞），a+b=1，求y=
1
a
+
2
b
的最小值．
解法如下：y=
1
a
+
2
b
=（
1
a
+
2
b
）（a+b）=
b
a
+
2a
b
+3≥3+2
2
，當且僅當
b
a
=
2a
b
，即a=
2
-1，b=2-
2
時取到等號，則y=
1
a
+
2
b
的最小值為3+2
2
．
應用上述解法，求解下列問題：
（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值；
（2）已知x∈（0，
1
2
），求函數(shù)y=
1
x
+
8
1-2x
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是一次函數(shù)，且f（f（x））=9x+4
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x2+2，求g（f（2））的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinα-cosα=
2
，則tanα等于（　�。�
A、-1
B、-
2
2
C、
2
2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知g（x）=mx，G（x）=lnx．
（1）若f（x）=G（x）-x+1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若G（x）+x+2≤g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）令b=G（a）+a+2，求證：b-2a≤1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列各圓的標準方程：
（1）圓心在y=-x上且過兩點（2，0），（0，-4）；
（2）圓心在直線5x-3y=8上，且與坐標軸相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，如果實數(shù)t滿足f（t）+f（-t）＜2f（1），那么t的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知以F為焦點的拋物線y2=4x上的兩點A、B滿足
AF
=3
FB
，則弦AB的中點到準線的距離為（　�。�
A、
8
3
B、
4
3
C、2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)命題p：a3＜a，命題q：對任意x∈R，都有x2+4ax+1＞0，命題p∧q為假，p∨q為真，則實數(shù)a的取值范圍是．

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