Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013456937527.png" style="vertical-align:middle;" />，且對(duì)于任意，存在正實(shí)數(shù)L，使得均成立。
（1）若，求正實(shí)數(shù)L的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{}滿足
①求證：；
②如果令，求證：.

Answer 1

（1）（2）證明如下

試題分析：解：（1）由已知可得，對(duì)任意的，均有，
又由恒成立，即恒成立．
當(dāng)時(shí)，由上可得．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013457452559.png" style="vertical-align:middle;" />，故，故；
當(dāng)時(shí)，恒成立。
的取值范圍是．
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013457593874.png" style="vertical-align:middle;" />，故當(dāng)時(shí)，，所以
．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013457047418.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（當(dāng)時(shí)，不等式也成立）．
②因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013457842860.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
．所以
．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。關(guān)于不等式的證明，常用到的方法較多，像放縮法、裂變法、絕對(duì)值性質(zhì)法和基本不等式法等。