Question

4．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，x∈R
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期、對(duì)稱軸方程及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值及取最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（2）根據(jù)題意，若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，計(jì)算可得$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$，
則其周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，即函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解可得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，
（2）根據(jù)題意，若x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，即0≤x≤$\frac{π}{2}$，
則$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$有最大值2，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$有最小值-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的圖象變化為規(guī)律與性質(zhì)以及正弦函數(shù)的圖象以及性質(zhì)．