Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=n²（sin²$\frac{nπ}{3}$-cos²$\frac{nπ}{3}$），其前n項(xiàng)和為S_n，則S₃₀=-470．

Answer 1

分析 利用二倍角公式對(duì)已知化簡(jiǎn)可得，a_n=n²（sin²$\frac{nπ}{3}$-cos²$\frac{nπ}{3}$）=-n²cos$\frac{2nπ}{3}$，然后代入到求和公式中可得，S₃₀=（1²cos$\frac{2π}{3}$+2²cos$\frac{4π}{3}$+3²cos2π+…+30²cos20π），求出特殊角的三角函數(shù)值之后，利用平方差公式分組求和，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求解

解答 解：∵a_n=n²（sin²$\frac{nπ}{3}$-cos²$\frac{nπ}{3}$）=-n²cos$\frac{2nπ}{3}$，
∴S₃₀=（1²cos$\frac{2π}{3}$+2²cos$\frac{4π}{3}$+3²cos2π+…+30²cos20π），
=-（-$\frac{1}{2}$×1-$\frac{1}{2}$×2²+1×3²+…-$\frac{1}{2}$×28-$\frac{1}{2}$×29²+1×30²），
=-{-$\frac{1}{2}$[（1²-3²）+（4²-6²）+…+（28²-30²）+（2²-3²）+（5²-6²）+…+（29²-30²）]}，
=$\frac{1}{2}$[-2（4+10+16…+58）-（5+11+17+…+59）]，
=$\frac{1}{2}$[-2×$\frac{4+58}{2}$×10-$\frac{5+59}{2}$×10]，
=-470，
故答案為：-470．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角的余弦公式、分組求和方法的應(yīng)用，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．