【題目】設(shè)函數(shù), .

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時，討論函數(shù)與的圖象的交點個數(shù).

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）兩函數(shù)圖象總有一個交點.

【解析】試題分析：（1）在定義域的前提下對函數(shù)求導(dǎo),對分類: , .可函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),本題可轉(zhuǎn)化為求的零點個數(shù)問題,對分類討論即可.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，

當(dāng)時， ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（2）解：令， ，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù).

當(dāng)時， ， ，有唯一零點；

當(dāng)時， ；

當(dāng)時， ，函數(shù)為減函數(shù)，注意到， ，所以有唯一零點；

當(dāng)時， 或時， ， 時，所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到， ，所以有唯一零點；

當(dāng)時， 或時， 時，所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，所以，而，所以有唯一零點.

綜上，函數(shù)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖:某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（是直角頂點）來處理污水，管道越長污水凈化效果越好，設(shè)計要求管道的的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記.

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（3）當(dāng)取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度。

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