在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N*),且b1,a2,b2成等差數(shù)列,a2,b2,a3+2成等比數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若Sn+an>m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,求常數(shù)m的取值范圍.
(Ⅰ)an=3n﹣2,bn=2•3n﹣1;(Ⅱ){m|m<3}
解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0),由已知得,解得d=q=3,所以an=3n﹣2,bn=2•3n﹣1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,從而,則3n+3n﹣3>m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,構(gòu)造函數(shù)f(n)=3n+3n﹣3,則
f(n+1)﹣f(n)=2•3n﹣3>0即f(n)單調(diào)遞增,所以m<f(1)=3,答案為{m|m<3}.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0).
由題意,得,解得d=q=3.
∴an=3n﹣2,bn=2•3n﹣1;
(Ⅱ)∵Sn+an>m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,
∴3n+3n﹣3>m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,
令f(n)=3n+3n﹣3,則f(n+1)﹣f(n)=2•3n﹣3>0,
∴f(n)單調(diào)遞增,
∴m<f(1)=3.
∴常數(shù)m的取值范圍{m|m<3}
考點(diǎn):1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;2.等比數(shù)列的求和公式;3.與正整數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
設(shè)是等差數(shù)列,且,則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)和___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}滿足a3=5,a5﹣2a2=3,又等比數(shù)列{bn}中,b1=3且公比q=3.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列滿足,令.
(1)試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由;
(2)若,求前項(xiàng)的和;
(3)是否存在使得三數(shù)成等比數(shù)列?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足且構(gòu)成等比數(shù)列.(1) 證明:;(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列為等差數(shù)列,且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng),S10="60" ,則S20等于 _________
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