【題目】已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4
（1）若平面上有兩點A（1，0），B（﹣1，0），點P是圓C上的動點，求使|AP|2+|BP|2取得最小值時點P的坐標；
（2）若Q是x軸上的動點，QM，QN分別切圓C于M，N兩點，①若 ，求直線QC的方程；②求證：直線MN恒過定點．

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y），由兩點間的距離公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P為圓上的點，所以 ，∴（|AP|2+|BP|2）min=20

此時直線 ，由題意得： ，∴P的坐標為


（2）解：①設(shè)Q（x，0），因為圓C的半徑r=2，而 ，

則 ，

而|QN|=|QM|，△QMN為等邊三角形．

∴|QC|2=|QN|2+|CN|2=16，∴|QC|=4，所求直線QC的方程：x=3

② ，則M，N在以QC為直徑的圓上

設(shè)Q（a，0），則以QC為直徑的圓的方程：

即x2+y2﹣（a+3）x﹣4y+3a=0與圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+21=0聯(lián)立得：﹣a（x﹣3）+3x+4y﹣21=0，

故無論a取何值時，直線MN恒過定點（3，3）


【解析】（1）根據(jù)圓的標準方程，設(shè)出點P的坐標，然后利用兩點間距離公式，得到|AP|2+|BP|2的表達式，即可求得P點的坐標．（2）①確定|QN|=|QM|，△QMN為等邊三角形，即可求直線QC的方程；②x2+y2﹣（a+3）x﹣4y+3a=0與圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+21=0聯(lián)立得：﹣a（x﹣3）+3x+4y﹣21=0，即可證明結(jié)論．

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