Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2λsinx，sinx+cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，λ（sinx-cosx））（λ＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosA=$\frac{2b-a}{2c}$，若f（A）-m＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\vec a•\vec b=2\sqrt{3}λsinxcosx+λ（sinx+cosx）（sinx-cosx）$=$\sqrt{3}$λsin2x-λcos2x
=2λ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=2λsin（2x-$\frac{π}{6}$），
因為f（x）的最大值為2，所以解得λ=1，則$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
可得：$2kπ+\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{5π}{3}$，$kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]$，k∈Z．
（Ⅱ）由$cosA=\frac{2b-a}{2c}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$．可得2b²-ab=b²+c²-a²，
即b²+a²-c²=ab，解得$cosC=\frac{1}{2}$，即$C=\frac{π}{3}$．
因為$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$．
因為$f（A）-m=2sin（2A-\frac{π}{6}）-m＞0$恒成立，則$2sin（2A-\frac{π}{6}）＞m$恒成立，即m≤-1．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．