在△ABC中,已知2B=A+C,b=1,求a+c的取值范圍.
考點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用
專題:解三角形
分析:由題意和內(nèi)角和定理求出B,并求出A、C的關(guān)系式,利用正弦定理用角的正弦表示a,c,利用兩角和差的三角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn),再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出a+c的取值范圍.
解答: 解:由題意知,△ABC中,2B=A+C,
因?yàn)锳+B+C=π,所以B=
π
3
,
則A+C=π-
π
3
=
3
,C=
3
-A
,所以0<A<
3
,
又b=1,由正弦定理得:
a
sinA
=
c
sinC
=
b
sinB
=
1
sin
π
3
=
2
3
3
,
所以a=
2
3
3
sinA,c=
2
3
3
sinC,
則a+c=
2
3
3
(sinA+sinC)=
2
3
3
[sinA+sin(
3
-A
)]
=
2
3
3
(sinA+
3
2
cosA+
1
2
sinA)=
2
3
3
3
2
sinA+
3
2
cosA)
=2sin(A+
π
6
)

由0<A<
3
得,
π
6
<A+
π
6
6
,則
1
2
sin(A+
π
6
)
≤1,
1<2sin(A+
π
6
)≤2

所以a+c的取值范圍是(1,2].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,利用條件將a+c轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,要求熟練掌握公式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,A,B,C所對(duì)的邊,若a=3,C=120°,△ABC的面積S=
15
3
4
,則c為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
(1)cos(-
79
6
π)
(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)
(3)cos(-
π
6

(4)sin(-
5
3
π)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線 P A切圓 O于點(diǎn) A,直線 P O交圓 O于點(diǎn) B、C,若PC=2+
3
,P A=1,則圓 O的半徑長(zhǎng)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

雙曲線
x2
4
-y2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為( 。
A、4
B、2
C、
3
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在極坐標(biāo)系中,已知圓ρ=3cosθ與直線2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,已知b=
7
,c=2,B=
π
3
,則a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)支點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位:移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴,并且向上、向右移?dòng)的概率都是0.5,質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)6次后位于點(diǎn)(2,4)的概率為(  )
A、(
1
2
6
B、C
 
2
6
1
2
6
C、C
 
2
6
1
2
2
D、C
 
2
6
C
 
4
6
1
2
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

三個(gè)變量y1,y2,y3隨x的變化情況如下表:
x1.003.005.007.009.0011.00
y15135625171536456655
y2529245218919685177149
y35.006.106.616.957.207.40
三個(gè)變量y1,y2,y3中,變量
 
隨x呈對(duì)數(shù)函數(shù)型變化,變量
 
隨x呈指數(shù)函數(shù)型變化,變量
 
隨x呈冪函數(shù)變化.

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