已知數(shù)列滿足,且對一切,其中
(Ⅰ)求證對一切,并求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)記,求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)求證
(Ⅰ){ an}成等差數(shù)列,首項a1=1,公差d=1,故an=n;
(Ⅱ);(Ⅲ)同解析。
(Ⅰ)由ni=1=Sn2,    (1)        由n+1i=1=Sn+12,       (2)
(2)-(1),得=(Sn+1+Sn)(Sn+1Sn)=(2 Sn+an+1) an+1
an+1 >0,∴an+12=2Sn.           
an+12=2Sn,及an2an =2Sn-1 (n≥2),
兩式相減,得(an+1+ an)( an+1an)= an+1+ an
an+1+ an >0,∴an+1an =1(n≥2)        
n=1,2時,易得a1=1,a2=2,∴an+1 an =1(n≥1).
∴{ an}成等差數(shù)列,首項a1=1,公差d=1,故an=n
(Ⅱ)由,得。所以,
時,;
時,
,


(Ⅲ)nk=1=nk=1<1+nk=2 
<1+nk=2=
=1+nk=2 (-)       
=1+1+-<2+<3.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列

(I)若a1=2,證明是等比數(shù)列;
(II)在(I)的條件下,求的通項公式;
(III)若,證明數(shù)列{||}的前n項和Sn滿足Sn<1.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設數(shù)列的前項的和,
(Ⅰ)求首項與通項;
(Ⅱ)設,,證明:.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問6分.(Ⅱ)小問6分)
設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足.
(Ⅰ)若a3,a4,并猜想a2008的值(不需證明);
(Ⅱ)若n≥2恒成立,求a2的值。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)
已知數(shù)列滿足:
(I)                   求得值;
(II)                 設,試求數(shù)列的通項公式;
(III)    對任意的正整數(shù),試討論的大小關系。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在數(shù)列中,若,則稱為“等方差數(shù)列”,下列是對“等方差數(shù)列”的判斷;
①若是等方差數(shù)列,則是等差數(shù)列;
是等方差數(shù)列;
③若是等方差數(shù)列,則也是等方差數(shù)列;
④若既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列為常數(shù)列。
其中正確命題序號為          。(將所有正確的命題序號填在橫線上)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列成等差數(shù)列,表示它的前項和,且,.
⑴求數(shù)列的通項公式;
⑵數(shù)列中,從第幾項開始(含此項)以后各項均為負數(shù)?

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列中,a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(n∈N*) 
(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設=|a1|+|a2|+…+|an|,求.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知等差數(shù)列151,149,…,-99,則這個數(shù)列的最后100項的和是     .

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