Question

已知直線l過點P（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，
（1）求△ABO的面積的最小值及其這時的直線l的方程；
（2）求直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出截距式方程，寫出面積的表達式，再由不等式得最值．
（2）設(shè)出直線方程的截距式，把經(jīng)過的點P（3，2）的坐標代入得a與b的等式關(guān)系，把截距的和a+b變形后使用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞3，b＞2），
則直線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1（1分）
∵直線l過點P（3，2），∴

3

a

+

2

b

=1，
∴b=

2a

a-3

，S△=

1

2

ab=

1

2

a•

2a

a-3

=

a2

a-3

（1分）
=(a-3)+

9

a-3

+6≥2

(a-3)• 9 a-3

+6=12（1分）
當且僅當

a＞3 a-3= 9 a-3

，即a=6時，（S_△）_min=12（1分）
直線l的方程為：

x

6

+

y

4

=1，即2x+3y-12=0（1分）
（2）∵

3

a

+

2

b

=1 (a＞3，b＞2)
∴a+b=(a+b)•1=(a+b)•(

3

a

+

2

b

)（1分）
=3+

2a

b

+

3b

a

+2≥5+2

2a b • 3b a

=5+2

6

（2分）
當且僅當

3 a + 2 b =1 2a b = 3b a a＞3，b＞2

，即

a=3+ 6 b=2+ 6

時，（1分）
(a+b)min=5+2

6

（1分）

點評：本題考查直線的一般式方程、直線方程的截距式，利用基本不等式求面積的最小值或截距和的最小值，注意等號成立的條件需檢驗．