Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離；
（3）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為．

Answer 1

【答案】分析：解法（一）：
（1）通過觀察，根據(jù)三垂線定理易得：不管點(diǎn)E在AB的任何位置，D₁E⊥A₁D總是成立的．
（2）在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題可采用“等積法”：即利用三棱錐的換底法，通過體積計算得到點(diǎn)到平面的距離．本法具有設(shè)高不作高的特殊功效，減少了推理，但計算相對較為復(fù)雜．根據(jù)=既可以求得點(diǎn)E到面ACD₁的距離．
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，
則∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角．
解法（二）：
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（1）．
（2）因為E為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，，設(shè)平面ACD₁的法向量為，從而，所以點(diǎn)E到平面AD₁C的距離為．
（3）設(shè)平面D₁EC的法向量，可求得．，因為二面角D₁-EC-D的大小為，所以根據(jù)余弦定理可得AE=時，二面角D₁-EC-D的大小為．
解答：解法（一）：
（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）設(shè)點(diǎn)E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，
故．∴，
∴，∴．
（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角．
設(shè)AE=x，則BE=2-x在Rt△D₁DH中，∵，∴DH=1．
∵，∴在Rt△DHE中，EH=x，．
∴．
∴．
解法（二）：
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）．（2）因為E為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，，設(shè)平面ACD₁的法向量為，
則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD₁C的距離為．
（3）設(shè)平面D₁EC的法向量，
∴，
由令b=1，∴c=2，a=2-x，
∴．
依題意．
∴（不合，舍去），．
∴AE=時，二面角D₁-EC-D的大小為．
點(diǎn)評：本小題主要考查棱柱，二面角、點(diǎn)到平面的距離和線面關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．