已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2,一內角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若直線y =kx交橢圓C于A,B兩點,在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.
(I); (II)  或

試題分析:(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質,易得,進而寫出方程; (II) 先找到AB中垂線與l的交點,保證ΔPAB為等腰三角形,再滿足即可保證ΔPAB為等邊三角形,此外,注意對于特殊情形的討論.
試題解析:
(I)因為橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2,
一內角為的菱形的四個頂點,
所以,橢圓的方程為.               4分
(II)設
當直線的斜率為時,的垂直平分線就是軸,
軸與直線的交點為,
又因為,所以,
所以是等邊三角形,所以滿足條件;           6分
當直線的斜率存在且不為時,設的方程為
所以,化簡得
所以 ,則      8分
的垂直平分線為,它與直線的交點記為
所以,解得,
                                        10分
因為為等邊三角形, 所以應有
代入得到,解得(舍),     13分
綜上可知, 或                               14分 
練習冊系列答案
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已知橢圓的一個頂點為,焦點在軸上,若右焦點到直線的距離為3.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線與橢圓相交于不同的兩點、,當時,求的取值范圍.

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已知橢圓的中心在坐標原點,右準線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若圓軸相切,求圓被直線截得的線段長.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓,為其右焦點,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點,問是否存在直線,使與橢圓交于兩點,且.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程;
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點,過動點作直線,使得與橢圓都只有一個交點,試判斷是否垂直,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

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分別過的兩條弦,相交于點(異于,兩點),且
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線,的斜率之和為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓與曲線的交點為,求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

設AB是橢圓的長軸,點C在上,且,若AB=4,,則的兩個焦點之間的距離為________

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

橢圓的左焦點為F,右頂點為A,以FA為直徑的圓經(jīng)過橢圓的上頂點,則橢圓的離心率為(    )
A.B.C.D.

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