在R上的可導函數(shù)f（x）滿足：f（0）=0，xf'（x）＞0，則
①f（-2）＜f（-1）；
②f（x）不可能是奇函數(shù)；
③函數(shù)y=xf（x）在R上為增函數(shù)；
④存在區(qū)間[a，b]，對任意x1，x2∈[a，b]，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
成立．
其中正確命題的序號為（將所有正確命題的序號都填上）______．
當x＞0時，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
當x＜0時，f'（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以f（-2）＞f（-1）所以①錯誤．
因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以f（x）不可能是奇函數(shù)，所以②錯誤．
當x＞0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，y=x也單調(diào)遞增，所以y=xf（x）也單調(diào)遞增，
當x＜0時，此時f（x）函數(shù)單調(diào)遞減，y=x單調(diào)遞增且x＜0，所以y=xf（x）也單調(diào)遞增，
因為f（0）=0，所以當x=0時xf（x）=0，所以函數(shù)y=xf（x）在R上為增函數(shù)，所以③正確．
滿足對任意x1，x2∈[a，b]，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
成立的函數(shù)為凹函數(shù)，
所以當f（x）=x2滿足條件，所以④正確．
故答案為：②③④．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在R上的可導函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c，當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值，則
b-2
a-1
的范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

觀察下列導數(shù)運算：①（x3）′=3x2；②（sinx）′=cosx；③(ex-(
1
e
)x)′=ex+(
1
e
)x，由此歸納推理可得：若定義在R上的可導函數(shù)f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，則函數(shù)f（x）的導函數(shù)g（x）滿足g（-x）-g（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•日照二模）已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數(shù)，f（4）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的可導函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且當x∈[0，2]時，f(x)=ex+
1
2
xf′(0)，則f(
7
2
)與f(
16
3
)的大小關(guān)系是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•臨沂二模）在R上的可導函數(shù)f（x）滿足：f（0）=0，xf'（x）＞0，則
①f（-2）＜f（-1）；
②f（x）不可能是奇函數(shù)；
③函數(shù)y=xf（x）在R上為增函數(shù)；
④存在區(qū)間[a，b]，對任意x1，x2∈[a，b]，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
成立．
其中正確命題的序號為（將所有正確命題的序號都填上）
②③④
②③④
．

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