Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC．
（1）求證：AB⊥平面SAC；
（2）設(shè)SA=AB=AC=1，求點A到平面SBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）作出輔助線，求出BC，SD的長，從而求出點到面的距離．

解答： 證明：（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，
∵AB⊥AC，∴AB⊥平面SAC；
（2）如圖，

做AD⊥BC，交點為D，連接SD，做AE⊥SD，交點為E，
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，
∵AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AE，
∵AE⊥SD，∴AE⊥平面SBC，
∴AE的長度是A到平面SBC的距離，
由勾股定理得BC=

2

，
（面積相等）AD×BC=AB×AC=1，
∴AD=

2

2

，
勾股定理得SD=

6

2

，
（面積相等）SA×AD=AE×SD，
即

2

2

=AE×

6

2

，
∴AE=

3

3

，
∴A到平面SBC的距離為

3

3

．

點評：本題考查了線面垂直的判定定理，考查了距離的計算，是一道中檔題．