【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知向量 =(﹣1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t),θ∈R.
(1)若 ⊥
,且
,求向量
;
(2)若向量 與向量
共線,常數(shù)k>0,求f(θ)=tsinθ的值域.
【答案】
(1)解: =(n﹣8,t),∵
⊥
,且
,∴﹣(n﹣8)+2t=0,
=8
,
解得t=±8,t=8時,n=24;t=﹣8時,n=﹣8.
∴向量 =(24,8),(﹣8,﹣8).(2)
=(ksinθ﹣8,t),
(2)解:∵向量 與向量
共線,常數(shù)k>0,∴t=﹣2ksinθ+16,
∴f(θ)=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k +
.
①k>4時, ,∴sinθ=
時,f(θ)=tsinθ取得最大值
,
sinθ=﹣1時,f(θ)=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16,此時函數(shù)f(θ)的值域為 .
②4>k>0時, >1.∴sinθ=1時,f(θ)=tsinθ取得最大值﹣2k+16,
sinθ=﹣1時,f(θ)=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16,
此時函數(shù)f(θ)的值域為[﹣2k﹣16,﹣2k+16].
【解析】(1) =(n﹣8,t),由
⊥
,且
,可得﹣(n﹣8)+2t=0,
=8
,聯(lián)立解出即可得出.(2)
=(ksinθ﹣8,t),由向量
與向量
共線,常數(shù)k>0,可得t=﹣2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k
+
.對k分類討論,利用三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面向量的坐標(biāo)運算(坐標(biāo)運算:設(shè),
則
;
;設(shè)
,則
).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩千多年前,古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù),按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類.如下圖中實心點的個數(shù)5,9,14,20,…為梯形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成,記此數(shù)列的第2013項為a2013 , 則a2013﹣5=( )
A.2019×2013
B.2019×2012
C.1006×2013
D.2019×1006
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
,得到函數(shù)
的圖象.已知函數(shù)
.
(1)若函數(shù)在區(qū)間
上的最大值為
,求
的值;
(2)設(shè)函數(shù),證明:對任意
,都存在
,使得
在
上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購進一定數(shù)量的空調(diào)器,商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺多余的空調(diào)器需交保管費100元;若供不應(yīng)求,則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時每臺空調(diào)器僅獲利潤200元. (Ⅰ)若該商場周初購進20臺空調(diào)器,求當(dāng)周的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位:臺,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進20臺空調(diào)器,X表示當(dāng)周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象先向左平移
個單位,再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?
倍(縱坐標(biāo)不變),那么所得圖象的解析式為y= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中.
(1)設(shè)
=
,求證:△ABC是等腰三角形;
(2)設(shè)向量 =(2sinC,﹣
),
=(sin2C,2cos2
﹣1),且
∥
,若sinA=
,求sin(
﹣B)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x﹣2)f′(x)>0,則必有( )
A.f(2)<f(0)<f(﹣3)
B.f(﹣3)<f(0)<f(2)
C.f(0)<f(2)<f(﹣3)
D.f(2)<f(﹣3)<f(0)
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