Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（1）證明：AG∥平面BDE．
（2）求平面BDE和平面ADE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC

CE⊥BC，CE平面BCEG，

∴EC⊥平面ABCD，

以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，

B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），

設平面BDE的法向量為 =（x，y，z），

=（0，2，﹣2）， =（2，0，﹣2），

∴ ，取x=1，得 =（1，1，1），

∵ =（﹣2，1，1），∴ =0，∴ ⊥ ，

∵AG平面BDE，∴AG∥平面BDE

（2）解：設平面ADE的法向量 =（a，b，c），

=（0，1，0）， =（﹣2，0，2），

則 ，取x=1，得 =（1，0，1），

由（1）得平面BDE的法向量為 =（1，1，1），

設平面BDE和平面ADE所成銳二面角的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴平面BDE和平面ADE所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AG∥平面BDE．（2）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．