Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與射線y=

3

x（x≥0）交于點(diǎn)Q，記∠xOP=α，且α∈（-

π

2

，

π

2

）
（1）若sinα=

1

3

，求cos∠POQ
（2）求

OP

•

OQ

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）若sinα=

1

3

，根據(jù)兩角和差的余弦公式即可求cos∠POQ
（2）求出P，Q的坐標(biāo)以及

OP

•

OQ

的表達(dá)式，利用輔助角公式將式子進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出數(shù)量積的最小值．

解答： 解：（1）∵射線y=

3

x（x≥0），
∴∠xOQ=

π

3

，
若sinα=

1

3

，則cosα=

1-( 1 3 )2

=

8 9

=

2 2

3

，
則cos∠POQ=cos（

π

3

-α）=cosαcos

π

3

+sinαsin

π

3

=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．
（2）∵∠xOP=α，
∴P（cosα，sinα），
又Q（cosα，

3

cosα），
則

OP

•

OQ

=（cosα，sinα）•（cosα，

3

cosα）=cos²α+

3

cosαsinα
=

1

2

（1+cos2α）+

3

2

sin2α
=sin（2α+

π

6

）+

1

2

，
∵α∈（-

π

2

，

π

2

）
∴2α∈（-π，π），
則2α+

π

6

∈（-

5π

6

，

7π

6

），
∴當(dāng)2α+

π

6

=-

π

2

時(shí)，sin（2α+

π

6

）+

1

2

取得最小值，
最小值為-1+

1

2

=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的定義以及兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，以及向量數(shù)量積的計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．