Question

已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，短軸長為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是橢圓的左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用

2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2

解出

a=2 b= 3

即可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出關于點M、N坐標之間的等式，再代入AM⊥AN對應的等式即可求出m和k之間的關系，進而證得直線l過定點，并求出定點的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的長半軸為a，短半軸長為b，半焦距為c，則

2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由方程組

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．（6分）
由題意△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0①（7分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．（8分）
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．　　　�。�10分）
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
也即(1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(km-2)•

-8km

3+4k2

+m2+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0．
解得m=-2k或m=-

2k

7

，均滿足①（11分）
當m=-2k時，直線l的方程為y=kx-2k，過定點（2，0），不符合題意舍去；
當m=-

2k

7

時，直線l的方程為y=k(x-

2

7

)，過定點(

2

7

，0)，
故直線l過定點，且定點的坐標為(

2

7

，0)．（13分）

點評：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系以及直線過定點等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力及創(chuàng)新意識，考查化歸與轉化思想，特殊與一般思想．