Question

18．已知圓O：x²+y²=1的弦AB長為$\sqrt{2}$，若線段AP是圓O的直徑，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=2；若點P為圓O上的動點，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍是[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$]．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形并求出∠BAP=45°，代入數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$；求出A、B的坐標，設出P的坐標，可得$\overrightarrow{AP}、\overrightarrow{AB}$的坐標，把$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$轉化為三角函數(shù)求最值．

解答 解：如圖，

由題意可得，∠BAP=45°，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AP}|cos45°=\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$；
由題意得A（1，0），B（0，1），設P（cosθ，sinθ），
則$\overrightarrow{AB}=（-1，1）$，$\overrightarrow{AP}=（cosθ-1，sinθ）$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-cosθ+1+sinθ=sinθ-cosθ+1=$\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+1$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍是[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$]．
故答案為：2；[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$]．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．