Question

3．已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在同一個球面上，△BCD是邊長為2的正三角形，AC為球O的直徑，若該三棱錐的體積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，則該球O的表面積（　�。�

• A． 64π
• B． 48π
• C． 32π
• D． 16π

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，設(shè)球心為O，過BCD三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面BCD，延長CO₁交球于點E，則AE⊥平面BCD，由該三棱錐的體積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求出AE=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，由AC為球O的直徑，求出OO₁=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，再求出CO₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，從而求出球半徑R=OC，進而能求出該球O的表面積．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形：
設(shè)球心為O，過BCD三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面BCD，
延長CO₁交球于點E，則AE⊥平面BCD．
∵該三棱錐的體積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×AE×\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得AE=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∵AC為球O的直徑，∴OO₁=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵CO₁=$\frac{2}{3}×\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴球半徑R=OC=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=2．
∴該球O的表面積S=4πR²=16π．
故選：D．

點評 本題考查球的表面積的求法，考查三棱錐的外接球、球的表面積、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．