Question

（14分）已知等比數(shù)列的前項和為，且是與2的等差中項，
等差數(shù)列中，，點在直線上．
⑴求和的值；
⑵求數(shù)列的通項和；
⑶ 設(shè)，求數(shù)列的前n項和．

Answer 1

（1）a₂="4" ；  （2b_n=2n-1；  （3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6     

本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項公式的求解哦數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。
（1） a_n是S_n與2的等差中項
∴S_n=2a_n-2            ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
進(jìn)而得到第二項的值。對于又S_n—S_n-1=a_n，
∴a_n=2a_n-2a_n-1∴，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)據(jù)列
以及∵點P(b_n，b_n+1)在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0得到數(shù)列的通項公式。
（2）由上可知，c_n=(2n-1)2ⁿ
利用錯位相減法可知得到數(shù)列的和的求解。
解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項
∴S_n=2a_n-2        ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4          ……3分
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n—S_n-1=a_n，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴，即數(shù)列{a_n}是等比樹立∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵點P(b_n，b_n+1)在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，             ……8分
（3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                                  ……14分