Question

已知f（x）=3ax²+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）討論g（x）=f（x）+

2

x

的單調性．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)為偶函數(shù)，所以定義域關于原點對稱，然后利用偶函數(shù)的定義，得到a，b的值．
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．

解答：解：（1）因為f（x）=3ax²+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)．
所以a-1+2a=0解得a=

1

3

，
此時函數(shù)f（x）=x²+bx．
因為f（x）=x²+bx是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即f（-x）=x²-bx=x²+bx，所以-b=b，解得b=0．
（2）f（x）=x²，函數(shù)的定義域為[-

2

3

，

2

3

]且x≠0．所以g（x）=f（x）+

2

x

=x2+

2

x

，
所以g′(x)=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

，由g′(x)=

2(x3-1)

x2

＞0，解得x＞1，此時無解．
由g′(x)=

2(x3-1)

x2

＜0，解得x＜1，所以此時x∈[-

2

3

，0)∪(0.

2

3

]，所以函數(shù)在[-

2

3

，0)和（0，

2

3

]上都為減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，以及函數(shù)單調性的判斷．